Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (x) \cos (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 4

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 5

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

Étape 9

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

Étape 10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Étape 11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

Étape 13.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

Étape 13.3

Réécrivez $4 \cos^{2} (x)$ comme ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

Étape 13.4

Réécrivez $4 \sin^{2} (x)$ comme ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

Étape 13.5

Remettez dans l’ordre $- {(2 \sin (x))}^{2}$ et ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

Étape 13.6

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 \cos (x)$ et $b = 2 \sin (x)$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

Étape 13.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 13.8

Développez $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 13.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

Étape 13.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.9

Associez les termes opposés dans $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 13.9.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ et $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.9.2

Additionnez $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ et $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.9.3

Additionnez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ et $0$ .

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.10.1

Multipliez $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Étape 13.10.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.10.1.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.10.1.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.10.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.10.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

Étape 13.10.2

Multipliez $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ .

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Étape 13.10.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

Étape 13.10.2.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Étape 13.10.2.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Étape 13.10.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

Étape 13.10.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$