Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\ln (x^{2}))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \ln (x^{2})$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{\ln (x^{2})} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{\ln (x^{2})}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})} (2 x)$

Étape 3.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2} \ln (x^{2})}$ .

$\frac{2}{x^{2} \ln (x^{2})} x$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{2}{x^{2} \ln (x^{2})}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} \ln (x^{2})}$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2} \ln (x^{2})}$

Étape 3.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \ln (x^{2})$ .

$\frac{x \cdot 2}{x (x \ln (x^{2}))}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2}{x (x \ln (x^{2}))}$

Étape 3.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x \ln (x^{2})}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Développez $\ln (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{2}{x (2 \ln (x))}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x (2 \ln (x))}$

Étape 4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x (\ln (x))}$