Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sec (x) + \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 4

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.3

Multipliez $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Étape 5.3.1

Associez $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ et $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.4

Associez $\sec^{2} (x)$ et $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.6

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.6.2

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 5.6.3

Factorisez $\sec (x)$ à partir de $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$