Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{5 x}{1 + x^{2}}$

Étape 1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 x}{1 + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $1 + x^{2}$ par $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$5 \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$5 \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 9

Associez $5$ et $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{5 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 + 5 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - 5 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 5 x^{2} + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$