Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\ln (x)}{x^{4}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{2}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x^{3}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{3} - \ln (x) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Étape 4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 4 \ln (x) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.4.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} - 4 \ln (x) x^{3}$ .

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Étape 4.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 - 4 \ln (x) x^{3}}{x^{8}}$

Étape 4.4.2.2

Factorisez $x^{3}$ à partir de $- 4 \ln (x) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 \ln (x))}{x^{8}}$

Étape 4.4.2.3

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{3} \cdot 1 + x^{3} (- 4 \ln (x))$ .

$\frac{x^{3} (1 - 4 \ln (x))}{x^{8}}$

Étape 5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1

Factorisez $x^{3}$ à partir de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (1 - 4 \ln (x))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} (1 - 4 \ln (x))}{x^{3} x^{5}}$

Étape 5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - 4 \ln (x)}{x^{5}}$

Étape 6

Simplifiez $- 4 \ln (x)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\frac{1 - \ln (x^{4})}{x^{5}}$