Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[3]{2 x}$

Étape 1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.3

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 2

Comme $2^{\frac{1}{3}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$2^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 7.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 10

Associez $2^{\frac{1}{3}}$ et $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Étape 11

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$