Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x + 3)}^{2} e^{4 x}$

Étape 1

Réécrivez ${(x + 3)}^{2}$ comme $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3) e^{4 x}]$

Étape 2

Développez $(x + 3) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x + 3) + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) e^{4 x}]$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Étape 3.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) e^{4 x}]$

Étape 3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 3 x + 3 x + 9) e^{4 x}]$

Étape 3.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 6 x + 9$ et $g (x) = e^{4 x}$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 6.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $(x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Étape 6.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 6.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 6.6

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 6.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 6.8

Multipliez $6$ par $1$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 6.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6 + 0)$

Étape 6.10

Additionnez $2 x + 6$ et $0$ .

$4 (x^{2} + 6 x + 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 (6 x) + 4 \cdot 9) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 6)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 (6 x) e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Étape 7.4

Associez des termes.

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Étape 7.4.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 4 \cdot 9 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Étape 7.4.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + e^{4 x} \cdot 6$

Étape 7.4.3

Déplacez $6$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x) + 6 \cdot e^{4 x}$

Étape 7.4.4

Additionnez $24 x e^{4 x}$ et $e^{4 x} (2 x)$ .

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Étape 7.4.4.1

Déplacez $e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 24 x e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Étape 7.4.4.2

Additionnez $24 x e^{4 x}$ et $2 x e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 36 e^{4 x} + 6 e^{4 x}$

Étape 7.4.5

Additionnez $36 e^{4 x}$ et $6 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$

Étape 7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$

Étape 7.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{4 x} x^{2} + 26 e^{4 x} x + 42 e^{4 x}$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 26 x e^{4 x} + 42 e^{4 x}$