Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\cos (2 x))$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \cos (2 x)$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x)$ .

$\frac{1}{\cos (2 x)} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\sec (2 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x) \cdot 1)$

Étape 4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réorganisez les facteurs de $\sec (2 x) (- 2 \sin (2 x))$ .

$- 2 \sec (2 x) \sin (2 x)$

Étape 5.2

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$- 2 \frac{1}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Étape 5.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$\frac{- 2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Étape 5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{\cos (2 x)} \sin (2 x)$

Étape 5.5

Associez $\sin (2 x)$ et $\frac{2}{\cos (2 x)}$ .

$- \frac{\sin (2 x) \cdot 2}{\cos (2 x)}$

Étape 5.6

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sin (2 x)}{\cos (2 x)}$

Étape 5.7

Séparez les fractions.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)})$

Étape 5.8

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$- (\frac{2}{1} \tan (2 x))$

Étape 5.9

Divisez $2$ par $1$ .

$- (2 \tan (2 x))$

Étape 5.10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \tan (2 x)$