Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + 1}$ comme ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 9

Associez les fractions.

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 9.3

Placez ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Étape 10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

Étape 12

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Étape 13

Simplifiez les termes.

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Étape 13.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Étape 13.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Étape 13.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 13.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.2

Multipliez $1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.3.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.3.2

Associez.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.5.1

Annulez le facteur commun.

Étape 14.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.6

Multipliez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 14.7.1

Remettez dans l’ordre ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ et $x$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.2

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 14.7.3

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.7.4

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.9

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 14.10

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$