Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{4} \ln (x)$

Étape 1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4} \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1

Associez $x^{4}$ et $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$3 (x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{3} + 3 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$3 x^{3} + 12 \ln (x) x^{3}$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{3} + 12 x^{3} \ln (x)$