Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(3 x + 1)}^{x - 3}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(3 x + 1)}^{x - 3}$ comme $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})}]$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(3 x + 1)}^{x - 3})$ en déplaçant $x - 3$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = (x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $(x - 3) \ln (3 x + 1)$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} \frac{d}{d x} [(x - 3) \ln (3 x + 1)]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = \ln (3 x + 1)$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)] + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 3 x + 1$ .

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Étape 4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $3 x + 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 4.2

La dérivée de $\ln (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $3 x + 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) (\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5

Différenciez.

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Étape 5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} (3 + 0) + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.6

Associez les fractions.

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Étape 5.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{1}{3 x + 1} \cdot 3 + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.6.2

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x + 1}$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 3])$

Étape 5.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]))$

Étape 5.9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) (1 + 0))$

Étape 5.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1) \cdot 1)$

Étape 5.10.2

Multipliez $\ln (3 x + 1)$ par $1$ .

$e^{(x - 3) \ln (3 x + 1)} ((x - 3) \frac{3}{3 x + 1} + \ln (3 x + 1))$