Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = a x + b$ et $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a x + b$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a x$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.4

Multipliez $a$ par $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $b$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $b$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.6

Additionnez $a$ et $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $c x + d$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.8

Comme $c$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $c x$ par rapport à $x$ est $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.10

Multipliez $c$ par $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.11

Comme $d$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $d$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 2.12

Additionnez $c$ et $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3.4

Associez les termes opposés dans $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

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Étape 3.4.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $c x a$ et $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Soustrayez $a c x$ de $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Additionnez $d a$ et $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$