Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 x$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$