Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} - 4 x}{x + 5} > 0$

Étape 1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - 4 x = 0$

$x + 5 = 0$

Étape 2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Étape 2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 7

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0, 4$

$x = - 5$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = 0, 4, - 5$

Étape 10

Déterminez le domaine de $\frac{x^{2} - 4 x}{x + 5}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 4 x}{x + 5}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x + 5 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 5$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 5$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 8$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot - 8}{(- 8) + 5} > 0$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $- 32$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 5 < x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot - 2}{(- 2) + 5} > 0$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(2)}^{2} - 4 \cdot 2}{(2) + 5} > 0$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $- 0.\overline{571428}$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{{(6)}^{2} - 4 \cdot 6}{(6) + 5} > 0$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $1.\overline{09}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 5$ Faux

$- 5 < x < 0$ Vrai

$0 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 5 < x < 0$ ou $x > 4$

Étape 14

Convertissez l’inégalité en une notation d’intervalle.

$(- 5, 0) \cup (4, \infty)$

Étape 15