Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (\frac{x}{y}) = x + y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\tan (\frac{x}{y})) = \frac{d}{d x} (x + y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{y}$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Étape 2.5

Associez $\sec^{2} (\frac{x}{y})$ et $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} = 1 + y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y')}{y^{2}} y^{2} = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) (y - x y') = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y + \sec^{2} (\frac{x}{y}) (- x y') = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y') = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec^{2} (\frac{x}{y}) y - \sec^{2} (\frac{x}{y}) (x y')$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - x y' \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.3

Déplacez $x$ .

$y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.4

Remettez dans l’ordre $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ et $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = (1 + y') y^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(1 + y') y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = 1 y^{2} + y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y^{2} + y' y^{2}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $y' y^{2}$ .

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) = y' y^{2} + y^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y' y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ des deux côtés de l’équation.

$- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y' y^{2}$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y' y^{2} = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' y^{2}$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y})) + y' (- 1 y^{2})$ .

$y' (- 1 x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - 1 y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.5

Réécrivez $- 1 y^{2}$ comme $- y^{2}$ .

$y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$

Étape 5.3.6

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ par $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}) = y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ par $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

$\frac{y' (- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}$ .

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Étape 5.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} + \frac{- y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.6.3.1

Associez en une fraction.

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Étape 5.3.6.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y^{2}}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}} - \frac{y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} - y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

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Étape 5.3.6.3.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y - y \sec^{2} (\frac{x}{y})}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.2.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y (- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))$ .

$y' = \frac{y (y - 1 \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.2.2

Réécrivez $- 1 \sec^{2} (\frac{x}{y})$ comme $- \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- x \sec^{2} (\frac{x}{y}) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.3.6.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x \sec^{2} (\frac{x}{y})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - y^{2}}$

Étape 5.3.6.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})}$

Étape 5.3.6.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y})) - (y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Étape 5.3.6.3.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.6.3.3.4.1

Réécrivez $- (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ comme $- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})$ .

$y' = \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{- 1 (x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2})}$

Étape 5.3.6.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - \sec^{2} (\frac{x}{y}))}{x \sec^{2} (\frac{x}{y}) + y^{2}}$