Calcul infinitésimal Exemples

$5 y^{2} = \frac{4 x - 3}{4 x + 3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x - 3}{4 x + 3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$10 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 4 x - 3$ et $g (x) = 4 x + 3$ .

$\frac{(4 x + 3) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 x + 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x + 3) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{(4 x + 3) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 x + 3$ .

$\frac{4 \cdot (4 x + 3) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x + 3]}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [3])}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) (4 + 0)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - (4 x - 3) \cdot 4}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{4 (4 x + 3) - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x - 3)}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Associez les termes opposés dans $4 (4 x) + 4 \cdot 3 - 4 (4 x) - 4 \cdot - 3$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Soustrayez $4 (4 x)$ de $4 (4 x)$ .

$\frac{4 \cdot 3 + 0 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Additionnez $4 \cdot 3$ et $0$ .

$\frac{4 \cdot 3 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 - 4 \cdot - 3}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$\frac{12 + 12}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Additionnez $12$ et $12$ .

$\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ par $10 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $10 y y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}$ par $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}}}{10 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{24}{{(4 x + 3)}^{2}} \cdot \frac{1}{10 y}$

Étape 5.3.2

Associez.

$y' = \frac{24 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $24$ et $10$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $24 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{{(4 x + 3)}^{2} (10 y)}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de ${(4 x + 3)}^{2} (10 y)$ .

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (12 \cdot 1)}{2 ({(4 x + 3)}^{2} (5 y))}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{12 \cdot 1}{{(4 x + 3)}^{2} (5 y)}$

Étape 5.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $12$ par $1$ .

$y' = \frac{12}{{(4 x + 3)}^{2} \cdot 5 y}$

Étape 5.3.4.2

Déplacez $5$ à gauche de ${(4 x + 3)}^{2}$ .

$y' = \frac{12}{5 \cdot {(4 x + 3)}^{2} y}$

Étape 5.3.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{12}{5 {(4 x + 3)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{5 y {(4 x + 3)}^{2}}$