Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = \frac{x^{2}}{x y - 2500}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x y - 2500})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x y - 2500$ .

$\frac{(x y - 2500) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x y - 2500]}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(x y - 2500) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x y - 2500]}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x y - 2500$ .

$\frac{2 \cdot (x y - 2500) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x y - 2500]}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y - 2500$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2500]$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2500])}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.7

Comme $- 2500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2500$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y + 0)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.8

Additionnez $x y' + y$ et $0$ .

$\frac{2 (x y - 2500) x - x^{2} (x y' + y)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (x y) + 2 \cdot - 2500) x - x^{2} (x y' + y)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x y) x + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y' + y)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (x y) x + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.9.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.9.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x y) + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (x^{2} y) + 2 \cdot - 2500 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.2

Multipliez $2$ par $- 2500$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - x^{2} (x y') - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.9.4.1.3.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - (x \cdot x^{2}) y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.9.4.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - (x^{1} x^{2}) y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - x^{1 + 2} y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 x^{2} y - 5000 x - x^{3} y' - x^{2} y}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.2

Soustrayez $x^{2} y$ de $2 x^{2} y$ .

$\frac{1 x^{2} y - 5000 x - x^{3} y'}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.4.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x^{2} y - 5000 x - x^{3} y'}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} y - x^{3} y' - 5000 x}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.6

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y - x^{3} y' - 5000 x$ .

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Étape 3.9.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{x (x y) - x^{3} y' - 5000 x}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.6.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3} y'$ .

$\frac{x (x y) + x (- x^{2} y') - 5000 x}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.6.3

Factorisez $x$ à partir de $- 5000 x$ .

$\frac{x (x y) + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.6.4

Factorisez $x$ à partir de $x (x y) + x (- x^{2} y')$ .

$\frac{x (x y - x^{2} y') + x \cdot - 5000}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 3.9.6.5

Factorisez $x$ à partir de $x (x y - x^{2} y') + x \cdot - 5000$ .

$\frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = \frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x y - 2500)}^{2}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = \frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}} {(x y - 2500)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}} {(x y - 2500)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x y - 2500)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = \frac{x (x y - x^{2} y' - 5000)}{{(x y - 2500)}^{2}} {(x y - 2500)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x (x y - x^{2} y' - 5000)$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x (x y) + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.3.1.1

Déplacez $x$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x \cdot x y + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Étape 5.2.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y + x (- x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Étape 5.2.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x (x^{2} y') + x \cdot - 5000$

Étape 5.2.1.3.3

Déplacez $- 5000$ à gauche de $x$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x (x^{2} y') - 5000 \cdot x$

Étape 5.2.1.4

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.4.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - (x^{2} x) y' - 5000 \cdot x$

Étape 5.2.1.4.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 5.2.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - (x^{2} x^{1}) y' - 5000 \cdot x$

Étape 5.2.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x^{2 + 1} y' - 5000 \cdot x$

Étape 5.2.1.4.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x^{3} y' - 5000 \cdot x$

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - x^{3} y' - 5000 x$

Étape 5.2.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.5.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = x^{2} y - y' x^{3} - 5000 x$

Étape 5.2.1.5.2

Remettez dans l’ordre $x^{2} y$ et $- y' x^{3}$ .

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} = - y' x^{3} + x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Ajoutez $y' x^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' {(x y - 2500)}^{2} + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(x y - 2500)}^{2}$ comme $(x y - 2500) (x y - 2500)$ .

$2 y y' ((x y - 2500) (x y - 2500)) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(x y - 2500) (x y - 2500)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' (x y (x y - 2500) - 2500 (x y - 2500)) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' (x y (x y) + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y - 2500)) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' (x y (x y) + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$2 y y' (x \cdot x y \cdot y + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y y' (x^{2} y \cdot y + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$2 y y' (x^{2} (y \cdot y) + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} + x y \cdot - 2500 - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3.1.3

Déplacez $- 2500$ à gauche de $x y$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} - 2500 \cdot (x y) - 2500 (x y) - 2500 \cdot - 2500) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3.1.4

Multipliez $- 2500$ par $- 2500$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} - 2500 x y - 2500 x y + 6250000) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.3.2

Soustrayez $2500 x y$ de $- 2500 x y$ .

$2 y y' (x^{2} y^{2} - 5000 x y + 6250000) + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' (x^{2} y^{2}) + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5

Simplifiez

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Étape 5.3.1.2.5.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.5.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 (y^{2} y) y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.3.1.2.5.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 (y^{2} y^{1}) y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y^{2 + 1} y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 y y' (- 5000 x y) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.5.2.1

Déplacez $y$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 (y \cdot y) y' (- 5000 x) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 y^{2} y' (- 5000 x) + 2 y y' \cdot 6250000 + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.5.3

Multipliez $6250000$ par $2$ .

$2 y^{3} y' x^{2} + 2 y^{2} y' (- 5000 x) + 12500000 y y' + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.1.2.6

Multipliez $- 5000$ par $2$ .

$2 y^{3} y' x^{2} - 10000 y^{2} y' x + 12500000 y y' + y' x^{3} = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y^{3} y' x^{2} - 10000 y^{2} y' x + 12500000 y y' + y' x^{3}$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $2 y^{3} y' x^{2}$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) - 10000 y^{2} y' x + 12500000 y y' + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 10000 y^{2} y' x$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x) + 12500000 y y' + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $12500000 y y'$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{3}$ .

$y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y^{3} x^{2}) + y' (- 10000 y^{2} x)$ .

$y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x) + y' (12500000 y)$ .

$y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y) + y' (x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.2.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y) + y' (x^{3})$ .

$y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$ par $2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}) = x^{2} y - 5000 x$ par $2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}$ .

$\frac{y' (2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3})}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}} = \frac{x^{2} y}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}} + \frac{- 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{x^{2} y}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}} + \frac{- 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x^{2} y - 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Étape 5.3.3.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y - 5000 x$ .

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Étape 5.3.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{x (x y) - 5000 x}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Étape 5.3.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 5000 x$ .

$y' = \frac{x (x y) + x \cdot - 5000}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Étape 5.3.3.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (x y) + x \cdot - 5000$ .

$y' = \frac{x (x y - 5000)}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (x y - 5000)}{2 y^{3} x^{2} - 10000 y^{2} x + 12500000 y + x^{3}}$