Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} \cos (x) = 6 + \sin (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{y} \cos (x)) = \frac{d}{d x} (6 + \sin (x y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{y}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{y} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{y} y'$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 + \sin (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Étape 3.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$0 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$0 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$0 + \cos (x y) (x y' + y)$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Étape 3.3.2

Additionnez $0$ et $\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$ .

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{y} \sin (x) + e^{y} \cos (x) y'$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) = x y' \cos (x y) + y \cos (x y)$

Étape 5.3

Soustrayez $x y' \cos (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{y} \sin (x) + y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y)$

Étape 5.4

Ajoutez $e^{y} \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Étape 5.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{y} \cos (x) - x y' \cos (x y)$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{y} \cos (x)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Étape 5.5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Étape 5.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (e^{y} \cos (x)) + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$

Étape 5.6

Divisez chaque terme dans $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ par $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.6.1

Divisez chaque terme dans $y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)$ par $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Étape 5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)$ .

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Étape 5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (e^{y} \cos (x) - x \cos (x y))}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Étape 5.6.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)} + \frac{e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Étape 5.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.6.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + e^{y} \sin (x)}{e^{y} \cos (x) - x \cos (x y)}$