Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(5 x^{2} + 11 x)}^{20}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(5 x^{2} + 11 x)}^{20})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{20}$ et $g (x) = 5 x^{2} + 11 x$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2} + 11 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{20}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 20$ .

$20 u^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2} + 11 x$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 11 x]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} + 11 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + \frac{d}{d x} [11 x])$

Étape 3.2.5

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11 \cdot 1)$

Étape 3.2.7

Multipliez $11$ par $1$ .

$20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 20 {(5 x^{2} + 11 x)}^{19} (10 x + 11)$