Calcul infinitésimal Exemples

$x y = \cot (x y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x y) = \frac{d}{d x} (\cot (x y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \csc^{2} (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \csc^{2} (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \csc^{2} (x y) (x y' + y)$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \csc^{2} (x y) (x y') - \csc^{2} (x y) y$

Étape 3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + y = - x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \csc^{2} (x y) y' - y \csc^{2} (x y)$ .

$x y' + y = - x y' \csc^{2} (x y) - y \csc^{2} (x y)$

Étape 5.2

Ajoutez $x y' \csc^{2} (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' + y + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y)$

Étape 5.3

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Étape 5.4

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' + x y' \csc^{2} (x y)$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $x y'$ à partir de $x y'$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Étape 5.4.2

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Étape 5.4.3

Factorisez $x y'$ à partir de $x y' \cdot 1 + x y' \csc^{2} (x y)$ .

$x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ par $x (1 + \csc^{2} (x y))$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $x y' (1 + \csc^{2} (x y)) = - y \csc^{2} (x y) - y$ par $x (1 + \csc^{2} (x y))$ .

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (1 + \csc^{2} (x y))}{x (1 + \csc^{2} (x y))} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 5.5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + \csc^{2} (x y)$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 + \csc^{2} (x y))}{1 + \csc^{2} (x y)} = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} + \frac{- y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 5.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \csc^{2} (x y)}{x (1 + \csc^{2} (x y))} - \frac{y}{x (1 + \csc^{2} (x y))}$