Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$

Étape 1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + 3)}^{2}}$ comme ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 3)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{- 2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3} \cdot 1$

Étape 3.4.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 {(x + 3)}^{- 3}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{{(x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 3)}^{3}}$

Étape 4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(x + 3)}^{3}}$