Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $13 x^{4} - 78 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 x^{4}$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $13$ .

$52 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 78$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 78 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$52 x^{3} - 78 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 78$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $52 x^{3} - 156 x$ .

$52 x^{3} - 156 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $52 x^{3} - 156 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$52 x^{3} - 156 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $52 x$ à partir de $52 x^{3} - 156 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $52 x$ à partir de $52 x^{3}$ .

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $52 x$ à partir de $- 156 x$ .

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $52 x$ à partir de $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ .

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $52 x (x^{2} - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $13 x^{4} - 78 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$13 {(0)}^{4} - 78 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$13 \cdot 0 - 78 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $13$ par $0$ .

$0 - 78 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 78 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 78$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{3}$ .

$13 {(\sqrt{3})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$13 \cdot 9 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $13$ par $9$ .

$117 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

Étape 4.2.2.1.4.5

Évaluez l’exposant.

$117 - 78 \cdot 3$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $- 78$ par $3$ .

$117 - 234$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $234$ de $117$ .

$- 117$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{3}$ .

$13 {(- \sqrt{3})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$13 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$13 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$13 {\sqrt{3}}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$13 \cdot 9 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.6

Multipliez $13$ par $9$ .

$117 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$117 - 78 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 4.3.2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$117 - 78 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Étape 4.3.2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$117 - 78 {\sqrt{3}}^{2}$

Étape 4.3.2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.3.2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.3.2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

Étape 4.3.2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$117 - 78 \cdot 3$

Étape 4.3.2.1.11

Multipliez $- 78$ par $3$ .

$117 - 234$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $234$ de $117$ .

$- 117$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{3}, - 117), (- \sqrt{3}, - 117)$

Étape 5