Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $x^{2} + 4$ par $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.7

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- x^{2} + 4 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 4$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 4$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Étape 2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{x}{x^{2} + 4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} + 4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{4 + 4}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{2}{8}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{8}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} + 4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2}{4 + 4}$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{- 2}{8}$

Étape 4.2.2.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{8}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Étape 4.2.2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(2, \frac{1}{4}), (- 2, - \frac{1}{4})$

Étape 5