Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 2 x^{2} + 3$ et $g (x) = 4 x^{2} + 5$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3] - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x + 0) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 5) (4 x) - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $4$ à gauche de $4 x^{2} + 5$ .

$\frac{4 \cdot (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 5]}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + \frac{d}{d x} [5])}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.11

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.12.1

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - (2 x^{2} + 3) (8 x)}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.2.12.2

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{4 (4 x^{2} + 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(4 (4 x^{2}) + 4 \cdot 5) x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2} + 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x + (- 8 (2 x^{2}) - 8 \cdot 3) x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (4 x^{2}) x + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.5.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.5.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{4 (4 (x \cdot x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.1.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.5.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{4 (4 (x^{1} x^{2})) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4 (4 x^{1 + 2}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4 (4 x^{3}) + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16 x^{3} + 4 \cdot 5 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{2}) x - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.5.1.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x \cdot x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.5.1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 (x^{1} x^{2})) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{1 + 2}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 8 (2 x^{3}) - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.5

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 8 \cdot 3 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.6

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Associez les termes opposés dans $16 x^{3} + 20 x - 16 x^{3} - 24 x$ .

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Étape 1.1.3.5.2.1

Soustrayez $16 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{20 x + 0 - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2.2

Additionnez $20 x$ et $0$ .

$\frac{20 x - 24 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.3

Soustrayez $24 x$ de $20 x$ .

$\frac{- 4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{4 x}{{(4 x^{2} + 5)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$4 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{2 x^{2} + 3}{4 x^{2} + 5}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{2 {(0)}^{2} + 3}{4 {(0)}^{2} + 5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Étape 4.1.2.1.3

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0^{2} + 5}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{4 \cdot 0 + 5}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{3}{0 + 5}$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $5$ .

$\frac{3}{5}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, \frac{3}{5})$

Étape 5