Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 12$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 12$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $12$ par $6$ .

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{2} - 12 x - 8$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 - 12 \cdot 2 - 8$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$12 - 24 - 8$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $24$ de $12$ .

$- 12 - 8$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $8$ de $- 12$ .

$- 20$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(2, - 20)$

Étape 5