Calcul infinitésimal Exemples

Trouver où il y a croissance et décroissance à l'aide des Dérivées f(x)=2x^3+3x^2-72x
Étape 1
Déterminez la dérivée première.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1
Déterminez la dérivée première.
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Étape 1.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2
Évaluez .
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Étape 1.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.2.3
Multipliez par .
Étape 1.1.3
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.3.3
Multipliez par .
Étape 1.1.4
Évaluez .
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 1.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 1.1.4.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 1.1.4.3
Multipliez par .
Étape 1.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 2
Définissez la dérivée première égale à puis résolvez l’équation .
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Étape 2.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 2.2
Factorisez le côté gauche de l’équation.
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Étape 2.2.1
Factorisez à partir de .
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Étape 2.2.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.1.5
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2
Factorisez.
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Étape 2.2.2.1
Factorisez à l’aide de la méthode AC.
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Étape 2.2.2.1.1
Étudiez la forme . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est et dont la somme est . Dans ce cas, dont le produit est et dont la somme est .
Étape 2.2.2.1.2
Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.
Étape 2.2.2.2
Supprimez les parenthèses inutiles.
Étape 2.3
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 2.4
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 2.4.1
Définissez égal à .
Étape 2.4.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 2.5
Définissez égal à et résolvez .
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Étape 2.5.1
Définissez égal à .
Étape 2.5.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 2.6
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
Étape 3
Les valeurs qui rendent la dérivée égale à sont .
Étape 4
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée ou indéfinie.
Étape 5
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
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Étape 5.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 5.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 5.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 5.2.1.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Simplifiez en soustrayant des nombres.
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Étape 5.2.2.1
Soustrayez de .
Étape 5.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 5.2.3
La réponse finale est .
Étape 5.3
Sur la dérivée est . Comme elle est positive, la fonction augmente sur .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 6
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
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Étape 6.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 6.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 6.2.1
Simplifiez chaque terme.
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Étape 6.2.1.1
Utilisez la règle de puissance pour distribuer l’exposant.
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Étape 6.2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.2.1.1.2
Appliquez la règle de produit à .
Étape 6.2.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.3
Multipliez par .
Étape 6.2.1.4
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 6.2.1.5
Élevez à la puissance .
Étape 6.2.1.6
Annulez le facteur commun de .
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Étape 6.2.1.6.1
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.6.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.6.3
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.6.4
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.1.7
Associez et .
Étape 6.2.1.8
Annulez le facteur commun de .
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Étape 6.2.1.8.1
Placez le signe négatif initial dans dans le numérateur.
Étape 6.2.1.8.2
Factorisez à partir de .
Étape 6.2.1.8.3
Annulez le facteur commun.
Étape 6.2.1.8.4
Réécrivez l’expression.
Étape 6.2.1.9
Multipliez par .
Étape 6.2.2
Déterminez le dénominateur commun.
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Étape 6.2.2.1
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 6.2.2.2
Multipliez par .
Étape 6.2.2.3
Multipliez par .
Étape 6.2.2.4
Écrivez comme une fraction avec le dénominateur .
Étape 6.2.2.5
Multipliez par .
Étape 6.2.2.6
Multipliez par .
Étape 6.2.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 6.2.4
Simplifiez chaque terme.
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Étape 6.2.4.1
Multipliez par .
Étape 6.2.4.2
Multipliez par .
Étape 6.2.5
Simplifiez l’expression.
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Étape 6.2.5.1
Soustrayez de .
Étape 6.2.5.2
Soustrayez de .
Étape 6.2.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 6.2.6
La réponse finale est .
Étape 6.3
Sur la dérivée est . Comme elle est négative, la fonction diminue sur .
Diminue sur depuis
Diminue sur depuis
Étape 7
Remplacez une valeur de l’intervalle dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
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Étape 7.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 7.2
Simplifiez le résultat.
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Étape 7.2.1
Simplifiez chaque terme.
Appuyez ici pour voir plus d’étapes...
Étape 7.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 7.2.1.2
Multipliez par .
Étape 7.2.1.3
Multipliez par .
Étape 7.2.2
Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.
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Étape 7.2.2.1
Additionnez et .
Étape 7.2.2.2
Soustrayez de .
Étape 7.2.3
La réponse finale est .
Étape 7.3
Sur la dérivée est . Comme elle est positive, la fonction augmente sur .
Augmente sur depuis
Augmente sur depuis
Étape 8
Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.
Augmente sur :
Diminue sur :
Étape 9