Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 24 x$ par rapport à $x$ est $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 24$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $3 x^{2} + 6 x - 24$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

$3 x^{2} + 6 x - 24$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 6 x - 24$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x - 24 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) - 24 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} + 2 x) + 3 \cdot - 8$ .

$3 (x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 2 x - 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 8$ et dont la somme est $2$ .

$- 2, 4$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$3 ((x - 2) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 (x - 2) (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 (x - 2) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 2, - 4$

Étape 3

Les valeurs qui rendent la dérivée égale à $0$ sont $2, - 4$ .

$2, - 4$

Étape 4

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 5

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- \infty, - 4)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f' (- 5) = 3 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 24$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 5) = 3 \cdot 25 + 6 (- 5) - 24$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$f' (- 5) = 75 + 6 (- 5) - 24$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 5$ .

$f' (- 5) = 75 - 30 - 24$

Étape 5.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.2.2.1

Soustrayez $30$ de $75$ .

$f' (- 5) = 45 - 24$

Étape 5.2.2.2

Soustrayez $24$ de $45$ .

$f' (- 5) = 21$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $21$ .

$21$

Étape 5.3

Sur $x = - 5$ la dérivée est $21$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(- \infty, - 4)$ .

Augmente sur $(- \infty, - 4)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 6

Remplacez une valeur de l’intervalle $(- 4, 2)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1) - 24$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 + 6 (- 1) - 24$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (- 1) = 3 + 6 (- 1) - 24$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 - 6 - 24$

Étape 6.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 6.2.2.1

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f' (- 1) = - 3 - 24$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $24$ de $- 3$ .

$f' (- 1) = - 27$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $- 27$ .

$- 27$

Étape 6.3

Sur $x = - 1$ la dérivée est $- 27$ . Comme elle est négative, la fonction diminue sur $(- 4, 2)$ .

Diminue sur $(- 4, 2)$ depuis $f' (x) < 0$

Étape 7

Remplacez une valeur de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée afin de déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 7.2.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$f' (3) = 3 {(3)}^{2} + 6 (3) - 24$

Étape 7.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (3) = 3^{1 + 2} + 6 (3) - 24$

Étape 7.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (3) = 3^{3} + 6 (3) - 24$

Étape 7.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f' (3) = 27 + 6 (3) - 24$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $6$ par $3$ .

$f' (3) = 27 + 18 - 24$

Étape 7.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 7.2.2.1

Additionnez $27$ et $18$ .

$f' (3) = 45 - 24$

Étape 7.2.2.2

Soustrayez $24$ de $45$ .

$f' (3) = 21$

Étape 7.2.3

La réponse finale est $21$ .

$21$

Étape 7.3

Sur $x = 3$ la dérivée est $21$ . Comme elle est positive, la fonction augmente sur $(2, \infty)$ .

Augmente sur $(2, \infty)$ depuis $f' (x) > 0$

Étape 8

Indiquez les intervalles sur lesquels la fonction est croissante et décroissante.

Augmente sur : $(- \infty, - 4), (2, \infty)$

Diminue sur : $(- 4, 2)$

Étape 9