Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Étape 1.1.2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2} + 12 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $6 x$ à partir de $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2$

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 4

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 + 12 (- 4)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $6$ par $16$ .

$f'' (- 4) = 96 + 12 (- 4)$

Étape 4.2.1.3

Multipliez $12$ par $- 4$ .

$f'' (- 4) = 96 - 48$

Étape 4.2.2

Soustrayez $48$ de $96$ .

$f'' (- 4) = 48$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 4.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, - 2)$ car $f'' (- 4)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Étape 5.2.2

Soustrayez $12$ de $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $- 6$ .

$- 6$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(- 2, 0)$ car $f'' (- 1)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(- 2, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f'' (2) = 6 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f'' (2) = 6 \cdot 4 + 12 (2)$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $6$ par $4$ .

$f'' (2) = 24 + 12 (2)$

Étape 6.2.1.3

Multipliez $12$ par $2$ .

$f'' (2) = 24 + 24$

Étape 6.2.2

Additionnez $24$ et $24$ .

$f'' (2) = 48$

Étape 6.2.3

La réponse finale est $48$ .

$48$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(0, \infty)$ car $f'' (2)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, - 2)$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(- 2, 0)$ car $f'' (x)$ est négatif

Concave vers le haut sur $(0, \infty)$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 8