Calcul infinitésimal Exemples

$y = 25 - x^{2}$ , $[- 5, 5]$

Étape 1

Écrivez $y = 25 - x^{2}$ comme une fonction.

$f (x) = 25 - x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée de $f (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.1.2

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.1.3

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$f' (x) = - 2 x$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x$ .

$- 2 x$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

$f' (x)$ est continu sur $[- 5, 5]$ .

$f' (x)$ est continu

Étape 5

La valeur moyenne de la fonction $f'$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (\int_{- 5}^{5} - 2 x d x)$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \int_{- 5}^{5} x d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{5}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{5}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $- 5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 ((\frac{5^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2

Simplifiez

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Étape 9.2.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

Étape 9.2.2.2

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{25}{2} - \frac{25}{2}))$

Étape 9.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{25 - 25}{2})$

Étape 9.2.2.4

Soustrayez $25$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{2}))$

Étape 9.2.2.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 9.2.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 (0)}{2})$

Étape 9.2.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 9.2.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Étape 9.2.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 (\frac{0}{1}))$

Étape 9.2.2.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (- 2 \cdot 0)$

Étape 9.2.2.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 5} (0)$

Étape 10

Additionnez $5$ et $5$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 0$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $0$ .

$A (x) = 0$

Étape 12