Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Alors $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , donc $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \frac{1}{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Étape 1.1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Étape 1.3

Divisez $1$ par $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Étape 1.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $e^{u}$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Étape 4.2

Simplifiez

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Étape 5.2

Multipliez $- - e$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Étape 5.2.2

Multipliez $e$ par $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Forme décimale :

$1.06956055 \dots$

Étape 7