Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Associez $\ln (x)$ et $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Étape 4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Étape 4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Étape 4.2.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Étape 6.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $3$ et sur $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.2

Déplacez $27$ à gauche de $\ln (3)$ .

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $27 \ln (3)$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.3.2.4

Divisez $9 \ln (3)$ par $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.5

Multipliez $\ln (1)$ par $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.6

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.7

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.8

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 6.3.8.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.8.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Étape 6.3.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Étape 6.3.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

Étape 6.3.11

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 6.3.12

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Étape 6.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Étape 6.3.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.3.14.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Étape 6.3.14.2

Soustrayez $1$ de $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

Étape 6.3.15

Multipliez $\frac{26}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

Étape 6.3.16

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

Étape 7.1.2

Divisez $0$ par $3$ .

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

Étape 7.2

Additionnez $9 \ln (3)$ et $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Forme décimale :

$6.99862170 \dots$