Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Étape 1

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Étape 3

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 1$ et sur $0$ .

$- ((e^{- 1}) - e^{0})$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (e^{- 1} - 1)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\frac{1}{e} - 1)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{e} - - 1$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{e} + 1$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{e} + 1$

Forme décimale :

$0.63212055 \dots$

Étape 7