Calcul infinitésimal Exemples

$\int 8 e^{4 x} d x$

Étape 1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$8 \int e^{4 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = 4 x$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 2.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$8 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Étape 3

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$8 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $8$ .

$\frac{8}{4} \int e^{u} d u$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Étape 5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int e^{u} d u$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 (e^{u} + C)$

Étape 7

Simplifiez

$2 e^{u} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$2 e^{4 x} + C$