Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{9} e^{x^{10}} d x$

Étape 1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Alors $d u_{1} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int {\sqrt{u_{1}}}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ comme ${u_{1}}^{4}$ .

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Étape 2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{8}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int {u_{1}}^{\frac{4}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.1.4.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2

Réécrivez ${\sqrt{u_{1}}}^{10}$ comme ${u_{1}}^{5}$ .

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u_{1}}$ comme ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 10}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{10}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 2.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{\frac{5}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.2.4.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$\int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et ${u_{1}}^{4}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4}}{2} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

Étape 2.4

Associez $\frac{{u_{1}}^{4}}{2}$ et $e^{{u_{1}}^{5}}$ .

$\int \frac{{u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}}}{2} d u_{1}$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{4} e^{{u_{1}}^{5}} d u_{1}$

Étape 4

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Alors $d u_{2} = 5 {u_{1}}^{4} d u_{1}$ , donc $\frac{1}{5} d u_{2} = {u_{1}}^{4} d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.1

Laissez $u_{2} = {u_{1}}^{5}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4}$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Étape 5

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Étape 6

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{5 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 7.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{1}{10} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 8

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{10} (e^{u_{2}} + C)$

Étape 9

Simplifiez

$\frac{1}{10} e^{u_{2}} + C$

Étape 10

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${u_{1}}^{5}$ .

$\frac{1}{10} e^{{u_{1}}^{5}} + C$

Étape 10.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{10} e^{{(x^{2})}^{5}} + C$