Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{2} \sec^{2} (x^{3}) d x$

Étape 1

Laissez $u = x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 2

Associez $\sec^{2} (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

Étape 4

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

Étape 5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

Étape 6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} \tan (x^{3}) + C$