Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (2 x)$ et $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Étape 3

Comme $- - 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- - 2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- x}$ et $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (2 x)$ et $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Étape 6

Comme $- 1 \cdot 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1 \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Étape 7

Simplifiez en multipliant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Étape 7.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 7.4

Multipliez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Étape 8

En résolvant $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ comme $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Étape 9.2.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Étape 9.2.1.3

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Étape 9.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Étape 9.2.5

Réécrivez $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ comme $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Étape 9.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$