Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sqrt{1 - 4 y} d y$

Étape 1

Laissez $u = 1 - 4 y$ . Alors $d u = - 4 d y$ , donc $- \frac{1}{4} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = 1 - 4 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $1 - 4 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 - 4 y]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 4 y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Étape 1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 4 y]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $y$ est $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - 4 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$0 - 4$

Étape 1.1.4

Soustrayez $4$ de $0$ .

$- 4$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 4} d u$

Étape 2

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Étape 2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Étape 3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Réécrivez $- \frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $- \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$- \frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $12$ .

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Étape 7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $12$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 4 y$ .

$- \frac{1}{6} {(1 - 4 y)}^{\frac{3}{2}} + C$