Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\tan^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

Étape 3

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

Étape 4

Multipliez $u^{2} (- 1 + u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $u^{2}$ .

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 5.3

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 5.3.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$