Calcul infinitésimal Exemples

$\int \sin^{2} (3 x) d x$

Step 1

Laissez $u_{1} = 3 x$ . Alors $d u_{1} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Laissez $u_{1} = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}$

Step 2

Associez $\sin^{2} (u_{1})$ et $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{3} d u_{1}$

Step 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Step 4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Step 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 6

Simplifiez

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Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Step 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{6} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 8

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Step 10

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Step 11

Associez $\cos (u_{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Step 12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Step 13

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Step 14

Simplifiez

$\frac{1}{6} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Step 15

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (2 (3 x))) + C$

Step 16

Simplifiez

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Simplifiez chaque terme.

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Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{1}{2} \sin (6 x)) + C$

Associez $\sin (6 x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (3 x - \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{6} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3 (2)} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3 (2)} (3 (x)) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 \cdot 2} (3 x) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2}) + C$

Multipliez $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (6 x)}{2})$ .

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Multipliez $\frac{1}{6}$ par $\frac{\sin (6 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{6 \cdot 2} + C$

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (6 x)}{12} + C$

Step 17

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{12} \sin (6 x) + C$