Calcul infinitésimal Exemples

Évaluer l'intégrale intégrale de (5-x)/(2x^2+x-1) par rapport à x
Étape 1
Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.
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Étape 1.1
Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.
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Étape 1.1.1
Factorisez par regroupement.
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Étape 1.1.1.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
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Étape 1.1.1.1.1
Multipliez par .
Étape 1.1.1.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 1.1.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.1.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
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Étape 1.1.1.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 1.1.1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.1.1.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 1.1.2
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.3
Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place .
Étape 1.1.4
Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est .
Étape 1.1.5
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 1.1.6
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.6.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.6.2
Divisez par .
Étape 1.1.7
Remettez dans l’ordre et .
Étape 1.1.8
Simplifiez chaque terme.
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Étape 1.1.8.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.8.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.8.1.2
Divisez par .
Étape 1.1.8.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.3
Multipliez par .
Étape 1.1.8.4
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.1.8.4.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.1.8.4.2
Divisez par .
Étape 1.1.8.5
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.1.8.6
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 1.1.8.7
Déplacez à gauche de .
Étape 1.1.8.8
Réécrivez comme .
Étape 1.1.9
Simplifiez l’expression.
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Étape 1.1.9.1
Déplacez .
Étape 1.1.9.2
Déplacez .
Étape 1.2
Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.
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Étape 1.2.1
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.2
Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.
Étape 1.2.3
Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.
Étape 1.3
Résolvez le système d’équations.
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Étape 1.3.1
Résolvez dans .
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Étape 1.3.1.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.1.2
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.2
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
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Étape 1.3.2.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.2.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.3.2.2.1
Simplifiez .
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Étape 1.3.2.2.1.1
Réécrivez comme .
Étape 1.3.2.2.1.2
Soustrayez de .
Étape 1.3.3
Résolvez dans .
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Étape 1.3.3.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 1.3.3.2
Déplacez tous les termes ne contenant pas du côté droit de l’équation.
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Étape 1.3.3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 1.3.3.2.2
Additionnez et .
Étape 1.3.3.3
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
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Étape 1.3.3.3.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 1.3.3.3.2
Simplifiez le côté gauche.
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Étape 1.3.3.3.2.1
Annulez le facteur commun de .
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Étape 1.3.3.3.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 1.3.3.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 1.3.3.3.3
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.3.3.3.3.1
Divisez par .
Étape 1.3.4
Remplacez toutes les occurrences de par dans chaque équation.
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Étape 1.3.4.1
Remplacez toutes les occurrences de dans par .
Étape 1.3.4.2
Simplifiez le côté droit.
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Étape 1.3.4.2.1
Simplifiez .
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Étape 1.3.4.2.1.1
Multipliez par .
Étape 1.3.4.2.1.2
Additionnez et .
Étape 1.3.5
Indiquez toutes les solutions.
Étape 1.4
Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans par les valeurs trouvées pour et .
Étape 1.5
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 3
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 4
Laissez . Alors , donc . Réécrivez avec et .
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Étape 4.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 4.1.1
Différenciez .
Étape 4.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3
Évaluez .
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Étape 4.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 4.1.3.3
Multipliez par .
Étape 4.1.4
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
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Étape 4.1.4.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 4.1.4.2
Additionnez et .
Étape 4.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 5
Simplifiez
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Étape 5.1
Multipliez par .
Étape 5.2
Déplacez à gauche de .
Étape 6
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 7
Associez et .
Étape 8
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 9
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 10
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 11
Multipliez par .
Étape 12
Laissez . Puis . Réécrivez avec et .
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Étape 12.1
Laissez . Déterminez .
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Étape 12.1.1
Différenciez .
Étape 12.1.2
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 12.1.3
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est .
Étape 12.1.4
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 12.1.5
Additionnez et .
Étape 12.2
Réécrivez le problème en utilisant et .
Étape 13
L’intégrale de par rapport à est .
Étape 14
Simplifiez
Étape 15
Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.
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Étape 15.1
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 15.2
Remplacez toutes les occurrences de par .