Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{4}} d x$

Étape 1

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (x^{2} + 2 x - 3) {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 2 x - 3) x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (x^{2} + 2 x - 3) x^{- 4} d x$

Étape 3

Développez $(x^{2} + 2 x - 3) x^{- 4}$ .

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (x^{2} + 2 x) x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{2} x^{- 4} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{2 - 4} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Étape 3.4

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int x^{- 2} + 2 x \cdot x^{- 4} - 3 x^{- 4} d x$

Étape 3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{- 2} + 2 (x^{1} x^{- 4}) - 3 x^{- 4} d x$

Étape 3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- 2} + 2 x^{1 - 4} - 3 x^{- 4} d x$

Étape 3.7

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + 2 x^{- 3} - 3 x^{- 4} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 2} d x + \int 2 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int 2 x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C + 2 \int x^{- 3} d x + \int - 3 x^{- 4} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

Étape 8.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - 3 x^{- 4} d x$

Étape 9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 \int x^{- 4} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C)$

Étape 11

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Étape 11.1

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Étape 11.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C)$

Étape 11.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- x^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C)$

Étape 11.2

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$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C$

Étape 11.3

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Étape 11.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C$

Étape 11.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C$

Étape 11.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C$