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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Laissez , où . Puis . Depuis , est positif.
Étape 2
Étape 2.1
Simplifiez .
Étape 2.1.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 2.1.1.1
Appliquez la règle de produit à .
Étape 2.1.1.2
Élevez à la puissance .
Étape 2.1.2
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.3
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.4
Factorisez à partir de .
Étape 2.1.5
Appliquez l’identité pythagoricienne.
Étape 2.1.6
Réécrivez comme .
Étape 2.1.7
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 2.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 2.2.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.3
Réécrivez l’expression.
Étape 3
Élevez à la puissance .
Étape 4
Élevez à la puissance .
Étape 5
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 6
Additionnez et .
Étape 7
Comme est constant par rapport à , placez en dehors de l’intégrale.
Étape 8
Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire comme .
Étape 9
Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.
Étape 10
Appliquez la règle de la constante.
Étape 11
Comme la dérivée de est , l’intégrale de est .
Étape 12
Simplifiez
Étape 13
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 14
Étape 14.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 14.1.1
Tracez un triangle dans le plan avec des sommets , , et l’origine. Alors est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par . Ainsi, est .
Étape 14.1.2
Réécrivez comme .
Étape 14.1.3
Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, où et .
Étape 14.1.4
Écrivez comme une fraction avec un dénominateur commun.
Étape 14.1.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.1.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 14.1.7
Associez et .
Étape 14.1.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.1.9
Multipliez par .
Étape 14.1.10
Multipliez par .
Étape 14.1.11
Multipliez par .
Étape 14.1.12
Réécrivez comme .
Étape 14.1.12.1
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 14.1.12.2
Factorisez la puissance parfaite dans .
Étape 14.1.12.3
Réorganisez la fraction .
Étape 14.1.13
Extrayez les termes de sous le radical.
Étape 14.1.14
Associez et .
Étape 14.2
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 14.3
Associez et .
Étape 14.4
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 14.5
Annulez le facteur commun de .
Étape 14.5.1
Annulez le facteur commun.
Étape 14.5.2
Réécrivez l’expression.
Étape 14.6
Multipliez par .
Étape 15
Remettez les termes dans l’ordre.