Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 9}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t)$ comme ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3 \tan (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 \tan (t)$ à partir de $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) (\sec (t))) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{3 \tan (t)} (3 \tan (t) \sec (t)) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \sec (t) d t$

Étape 3

L’intégrale de $\sec (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{x}{3})) + \tan (arcsec (\frac{x}{3})) |) + C$

Étape 5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{3} x)) + \tan (arcsec (\frac{1}{3} x)) |) + C$