Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Step 1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Step 2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Step 3

Multiplier l’argument par $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Step 4

Associez les fractions.

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Associez.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Multipliez ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ par $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Step 5

Simplifiez le dénominateur.

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Appliquez la propriété distributive.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Multipliez ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ par $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Step 6

Simplifiez chaque terme.

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Réécrivez $\sec (\frac{x}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Réécrivez $\sec (\frac{x}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Annulez le facteur commun de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Factorisez $\cos (\frac{x}{2})$ à partir de $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Factorisez $\cos (\frac{x}{2})$ à partir de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Associez $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ et $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Associez $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ et $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Step 7

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ à $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Step 8

Convertissez de $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ à $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Step 9

Transformez $\sec^{2} (x)$ en $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Step 10

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Step 11

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Réorganisez les termes.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Réécrivez le polynôme.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = 1$ et $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Step 12

Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , donc $2 d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Laissez $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Différenciez $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Step 13

Simplifiez

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Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Associez $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ et $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Step 14

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Step 15

Laissez $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Alors $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , donc $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Laissez $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Différenciez $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Différenciez.

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Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Évaluez $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

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Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $- \tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Soustrayez $\sec^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Step 16

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Step 17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Step 18

Simplifiez l’expression.

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Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Step 19

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Step 20

Simplifiez

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Réécrivez $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ comme $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Simplifiez

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Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Associez $2$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Step 21

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Step 22

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$