Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} + 5 e^{5 x} d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 2.2

Retirez $x^{\frac{3}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $- 1$ .

$\int x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int x^{- \frac{3}{2}} d x + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{3}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int 5 e^{5 x} d x$

Étape 4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{5 x} d x$

Étape 5

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 5.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 5.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Étape 7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 5 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Étape 8

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \frac{5}{5} \int e^{u} d u$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + 1 \int e^{u} d u$

Étape 8.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + \int e^{u} d u$

Étape 9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- 2 x^{- \frac{1}{2}} + C + e^{u} + C$

Étape 10

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Étape 10.1

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$- 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Étape 10.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{u} + C$

Étape 11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + e^{5 x} + C$