Calcul infinitésimal Exemples

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

Étape 1

Laissez $u = t^{6} + 5 t$ . Alors $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ , donc $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = t^{6} + 5 t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{6} + 5 t$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$6 t^{5} + 5$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Étape 2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$