Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{7} 2 {(- 2)}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 1 - 1}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ et ${(- 2)}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez ${(- 2)}^{n - 1}$ à partir de ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.2.2.4

Divisez ${(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(- 2)}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(- 2)}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(- 2)}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.5

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(- 2)}^{0 + 1}$

Étape 2.2.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(- 2)}^{1}$

Étape 2.2.7

Évaluez l’exposant.

$r = - 2$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans $2 {(- 2)}^{n - 1}$ .

$a = 2 {(- 2)}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = 2 {(- 2)}^{0}$

Étape 3.2.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 2 \cdot 1$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$a = 2$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$2 \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - - 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $7$ .

$2 \frac{1 - - 128}{1 - - 2}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 128$ .

$2 \frac{1 + 128}{1 - - 2}$

Étape 5.1.3

Additionnez $1$ et $128$ .

$2 \frac{129}{1 - - 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \frac{129}{1 + 2}$

Étape 5.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 (\frac{129}{3})$

Étape 5.3

Divisez $129$ par $3$ .

$2 \cdot 43$

Étape 5.4

Multipliez $2$ par $43$ .

$86$