Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.2.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Étape 2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 3.2.5

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

Étape 3.4.2

Soustrayez $2 \sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 4.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 4.2.5

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Étape 4.4.2.3

Soustrayez $3 \cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ .

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$