Calcul infinitésimal Exemples

$y \cos (x) = x^{2} + y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 2 y y' + 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ .

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 2 y y' + 2 x$

Étape 5.2

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 2 y y' = 2 x$

Étape 5.3

Ajoutez $y \sin (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y' \cos (x) - 2 y y' = 2 x + y \sin (x)$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x) - 2 y y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cos (x)$ .

$y' (\cos (x)) - 2 y y' = 2 x + y \sin (x)$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' (\cos (x)) + y' (- 2 y) = 2 x + y \sin (x)$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (\cos (x)) + y' (- 2 y)$ .

$y' (\cos (x) - 2 y) = 2 x + y \sin (x)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x) - 2 y) = 2 x + y \sin (x)$ par $\cos (x) - 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (\cos (x) - 2 y) = 2 x + y \sin (x)$ par $\cos (x) - 2 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 2 y)}{\cos (x) - 2 y} = \frac{2 x}{\cos (x) - 2 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (x) - 2 y$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (\cos (x) - 2 y)}{\cos (x) - 2 y} = \frac{2 x}{\cos (x) - 2 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{\cos (x) - 2 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 2 y}$