Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x + y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.1

Simplifiez $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Étape 5.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.1.2.1

Multipliez $\cos (x + y)$ par $1$ .

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Étape 5.1.1.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Étape 5.2

Soustrayez $y' \cos (x + y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - y' \cos (x + y)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \cos (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 \cos (x + y)$ comme $- \cos (x + y)$ .

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ par $1 - \cos (x + y)$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ par $1 - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - \cos (x + y)$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$